Bahas Soal Matematika   »   Pertidaksamaan Matematika   ›  

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( \sqrt{x^2-4} \leq 3-x \) adalah…

1. \( \left\{ x \in R: x \leq -2 \ \text{atau} \ 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \)
2. \( \left\{ x \in R: x \leq -2 \ \text{atau} \ 2 \leq x \right\} \)
3. \( \left\{ x \in R: -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \)
4. \( \left\{ x \in R: x \leq \frac{13}{6} \right\} \)
5. \( \left\{ x \in R: 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \)

(SIMAK UI 2018)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang perlu diperiksa.

Pertama, kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

Dari hasil di atas diperoleh himpunan penyelesaian \( x \leq \frac{13}{6} \).

Kedua, tentukan nilai \(x\) agar bentuk akar \( \sqrt{x^2-4} \) terdefinisi atau mempunyai nilai real. Agar \( \sqrt{x^2-4} \) mempunyai nilai real, maka syaratnya yaitu:

Ketiga, karena \( \sqrt{x^2-4} \geq 0 \) dan agar \( \sqrt{x^2-4} \leq 3-x \) mempunyai nilai real, maka:

Dari ketiga tahapan penyelesaian di atas, irisan dari ketiga nilai \(x\) yang diperoleh adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar yang diberikan dalam soal. Jika digambarkan hasilnya kurang lebih seperti berikut:

Dari hasil di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( HP: \left\{ x \in R : x \leq -2 \ \text{atau} \ 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \).

Jawaban A.